L3 Maths fonda !

Thor

Hey les gens ! J'ai un p'tit souci ^^

Si j'arrive à maîtriser ce qui a traît aux groupes quotients (lemmes, thémorèmes et compagnie), je n'arrive toujours pas (et c'est pourtant pas faute d'essayer) à voir concrètement à quoi correspond un groupe quotient.

Quand on se limite à

/n

ça va, je comprend que l'on prend un représentant de chaque classe de

mod (n) ...

Mais quand on quotiente par un Ker, voire par une relation d'équivalence, alors là ça m'échappe complètement Sad

Du coup cc'est vachement handicapant pour certains problèmes ...

Auriez-vous une chtite idée de ce que ça donne histoire de m'éclairer ? Merci Wink

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Thor, admin de charme =)

Naos · Supaérien Offline Joined: 06 Nov 2007 Posts: 16

Salut !

Formellement, un groupe quotient est l'ensemble des classes d'équivalences pour une certaine relation, munie bien sûr d'une structure de groupe dès que possible (celle-ci étant alors naturelle).

Je pense qu'il est important de conserver le point de vue des relations d'équivalences. Pour moi, je me dis qu'un quotient, c'est juste changer d'angle, aligner des objets qui, d'un certain point de vue, ne différent pas beaucoup.

Par exemple, lorsque tu quotientes un groupe (ou espace vectoriel) par le noyau d'un morphisme (ou une application linéaire), tu es juste en train de dire que, d'accord, l'application n'est peut être pas bijective (sinon pas grand intérêt), mais que si tu regardes les valeurs prises, et que tu groupes les antécédents qui donne une même valeur par ton application, et bien là, la nouvelle application (celle qui part non pas de ton groupe, mais de l'ensemble des groupements effectués = quotient) est bijective. En faisant cela, tu t'es dit que deux éléments qui différaients par un éléments du noyau, et bien c'était pas très différents, que ça ne devait pas beaucoup compter vis à vis du morphisme étudié (noyau...) .

C'est ni plus ni moins le principe de la factorisation, très important.

Après, tu peux aller plus loin, et utiliser cette technique pour, par exemple, donner une structure plus maniable à un ensemble : typiquement, transformer l'anneau des polynômes en corps (genre R[X]/(X^2+1) est isomorphe à C), construire des corps finis, étudier des groupes (dévissage), etc...

Voilà

Cordialement

Thor

Okay ! J'ai pas mal réfléchi sur ton explication et je vois ce que tu veux dire Wink

On utilise le quotient pour regrouper certains éléments égaux (modulo l'équivalence) pour créer des bijections.

Ainsi quotienter c'est regrouper plusieurs éléments sous une classe d'équivalence. J'ai travaillé quelques exemples dans ma tête et çay clair now Wink

Merci d'avoir usé de ton temps pour moi Naos Wink

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Thor, admin de charme =)